¿Por qué la diferencia entre el cuadrado de dos números consecutivos es igual a la suma de ambos?

Ejemplo:

$23^2=529$

$22^2=484$

$23^2-22^2=529-484=45$

$23+22=45$

Sabemos que

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$

luego entonces, entre dos números consecutivos, siendo $a$ el mayor de éstos:

$a-b=1$

y por tanto

$a^2-b^2=a+b$