Curiosidad aritmética

Con frecuencia he visto circular por las redes sociales la siguiente curiosidad aritmética:
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Bien, pues resulta que «destripar» este asunto es más simple de lo que parece.

Si ${{n}_{1}}=\,$ 1 x 8 + 1, ${{n}_{2}}=\,$ 12 x 8 + 2, ${{n}_{3}}=\,$ 123 x 8 + 3, …, ${{n}_{9}}=\,$ 123456789 x 8 + 9; tenemos que:
${{n}_{1}}=\,$ 1 x 8 + 1
${{n}_{2}}=\,$ (1 + 11) x 8 + (1 + 1)
${{n}_{3}}=\,$ (1 + 11 + 111) x 8 + (1 + 1 + 1)
$\vdots $
${{n}_{9}}=\,$ (1 + 11 + … + 111111111) x 8 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)

De ahí que:
\({{n}_{2}}-\ {{n}_{1}}=\)(1 + 11 – 1) x 8 + (1 + 1 – 1)
= 11 x 8 + 1 = 89 = 90 – 1

\({{n}_{3}}-\ {{n}_{2}}=\)(1 + 11 + 111 – 1 – 11) x 8 + (1 + 1 + 1 – 1 – 1)
= 111 x 8 + 1 = 889 = 900 – 11

\({{n}_{4}}-\ {{n}_{3}}=\)1111 x 8 + 1 = 8889 = 9000 – 111

$\vdots $

\({{n}_{9}}-\ {{n}_{8}}=\)111111111 x 8 + 1 = 888888889
= 900000000 – 11111111

Es decir:
\({{n}_{2}}=\) 90 + ${{n}_{1}}$ – 1

\({{n}_{3}}=\) 900 + ${{n}_{2}}$ – 11

$\vdots $

\({{n}_{9}}=\) 900000000 + ${{n}_{8}}$ – 11111111

Generalizando:
                                                             
                           \({{n}_{r}}=\) 9 x 10(r-1) + ${{n}_{r-1}}$ – Repunit*r-1
*Repunit: O «Repituno». Número natural como 11, 111 o 1111 que contiene solamente el dígito 1 (que en este caso se repite r-1 veces).

En palabras corrientes, comenzando por la izquierda, el primer dígito del número \({{n}_{r}}\) será un 9 y el resto, los del \({{n}_{r-1}}\) reducidos en 1. Misterio resuelto.

Ejemplo:
\({{n}_{6}}=\) 987654
\({{n}_{7}}=\) 9 x 10(7-1) + 987654 –  111111 = 9876543

Incluso, podemos utilizar el mismo procedimiento para inferir otras singularidades parecidas.

Si ahora

\({{n}_{2}}-\ {{n}_{1}}=\) 11 x 7 + 1 = 78 = 80 – 2 $\therefore $ \({{n}_{2}}=\) 80 + ${{n}_{1}}$– 2
\({{n}_{3}}-\ {{n}_{2}}=\) 111 x 7 + 1 = 778 = 800 – 22 $\therefore $ \({{n}_{3}}=\) 800 + ${{n}_{2}}$– 22

Luego

\({{n}_{r}}=\) 8 x 10(r-1) + ${{n}_{r-1}}$ –  2 x Repunitr-1

De acuerdo a esto, los dígitos de ${{n}_{r-1}}$ se reducirán en 2 en lugar de 1 y el primer dígito del número ${{n}_{r}}$ será 8.

Desarrollando:
1 x 7 + 1 = 8
12 x 7 + 2 = 86
123 x 7 + 3 = 864
1234 x 7 + 4 = 8642
12345 x 7 + 5 = 86420
123456 x 7 + 6 = 864198 $\Leftarrow $ ¡¿Qué pasa?!

Al llegar al cálculo de \({{n}_{6}}\) notamos que la sucesión 8, 6, 4, 2, 0… se altera. Esto sucede debido a que

\({{n}_{6}}=\) 800000 + ${{n}_{5}}$ – 22222

y

${{n}_{5}}$–  22222 = 86420 – 22222 = 64198

De ahí que \({{n}_{6}}=\) 864198 y lo «curioso» de la sucesión se rompa.

La cura

«¡Todo en orden!», dijo el asistente, dándole la señal al operador. Las puertas del invernadero se abrieron. La góndola se puso en marcha e inició el sinuoso recorrido. El olor a hojas de pino y musgo incendió los pulmones de los enfermos. Cuando llegaron al final del bosque, estaban curados.



Este relato fue mi primera participación en el estupendo blog literario Cincuenta palabras, en el cual fue publicado el 17 de junio de 2015.