El examen de matemáticas

El profesor de matemáticas está a punto de aplicar un examen a sus 37 asustados alumnos. Como amaneció de buen humor, de último minuto se le ocurre una manera de ser “benévolo” con ellos. Con este propósito les da la siguiente indicación:

—Formen una fila aleatoria afuera del salón. De forma que todos miren hacia la puerta, por favor.

Una vez formada la fila continúa:

—Voy a exentar a algunos de ustedes, poniéndoles además la máxima calificación. Sólo tendrán que realizar correctamente los siguientes 37 pasos:

Paso 1.-Todos darán media vuelta, quedando de espaldas al salón.

Paso 2.-Darán media vuelta los que ocupen los lugares 2, 4, 6, 8, …, 34 y 36 en la fila. Es decir, todos los que ocupen lugares que sean múltiplos de 2. De manera que si veían hacia el salón, ahora quedarán de espaldas a él y viceversa (en este segundo paso todos estaban de espaldas al salón, así que al dar media vuelta quedarán viendo hacia el aula).

Paso 3.-Darán media vuelta los que ocupen los lugares 3, 6, 9, 12, …, 33 y 36 en la fila. Es decir, todos los que ocupen lugares que sean múltiplos de 3. De manera que si veían hacia el salón, ahora quedarán de espaldas a él y viceversa.

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Paso $i$-ésimo.-Darán media vuelta los que ocupen lugares en la fila que sean múltiplos de $i$. De manera que si veían hacia el salón, ahora quedarán de espaldas a él y viceversa. Donde $i\le 37$.

—Al finalizar, aquéllos que hayan quedado de espaldas al salón (sin hacer trampa), podrán irse sin presentar el examen. Pueden comenzar —concluyó el maestro.

Ante la sorpresa de sus compañeros, Jonás, el alumno que ocupaba el noveno lugar en la fila y era además el más avispado en matemáticas, esbozó una leve sonrisa aún antes de que empezaran el ejercicio.

Pregunta: ¿Qué alumnos se libraron del examen y por qué?

Los afortunados que no tuvieron que presentar el examen fueron los que ocupaban los lugares 1, 4, 9, 16, 25 y 36 en la fila.

Demostración.

Como puede observarse los números 1, 4, 9, 16, 25 y 36 son cuadrados perfectos.

Los divisores de un número (llamando divisores a los factores enteros de un número, incluyendo al 1 y al mismo número) pueden emparejarse. Por ejemplo:

$18\,\ \left\{ \begin{matrix}1&\leftrightarrow&18\\2&\leftrightarrow&9\\3&\leftrightarrow&6\\\end{matrix} \right\}$

 El producto de cada par es igual a 18 y por lo tanto, 18 tiene 6 divisores: $\left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18 \right\}$.

Por otro lado, si el número es un cuadrado perfecto:

$36\,\ \left\{ \begin{matrix}1&\leftrightarrow&36\\2&\leftrightarrow&18\\3&\leftrightarrow&12\\ 4&\leftrightarrow&9\\6&\leftrightarrow&6\\\end{matrix} \right\}$

Como el número 6 se repite entre los factores, el número 36 tiene sólo 9 divisores: $\left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36 \right\}$.

En cualquier cuadrado perfecto siempre habrá un factor que se repita.

Podemos concluir entonces que un número natural es un cuadrado perfecto si y sólo si tiene un número impar de divisores.

Volviendo a nuestro problema, para que un alumno dé media vuelta en el paso $i$, es necesario que su lugar en la fila sea divisible exactamente entre $i$.

Observamos que, para que un alumno en la fila quede de espaldas al salón al finalizar el procedimiento, es necesario que realice un número impar de giros de 180º (“medias vueltas”).

Por lo anterior, los alumnos que se libran del examen son los que ocupan los lugares de los cuadrados perfectos menores que 37.

Por ejemplo, Jonás se giró en los pasos 1, 3 y 9 (3 medias vueltas); su optimismo estaba bien justificado.