Curiosidad aritmética

Con frecuencia he visto circular por las redes sociales la siguiente curiosidad aritmética:

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

Bien, pues resulta que «destripar» este asunto es más simple de lo que parece.

Si ${{n}_{1}}=\,$ 1 x 8 + 1, ${{n}_{2}}=\,$ 12 x 8 + 2, ${{n}_{3}}=\,$ 123 x 8 + 3, …, ${{n}_{9}}=\,$ 123456789 x 8 + 9; tenemos que:

${{n}_{1}}=\,$ 1 x 8 + 1

${{n}_{2}}=\,$ (1 + 11) x 8 + (1 + 1)

${{n}_{3}}=\,$ (1 + 11 + 111) x 8 + (1 + 1 + 1)

$\vdots$

${{n}_{9}}=\,$ (1 + 11 + … + 111111111) x 8 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)

De ahí que:

${{n}_{2}}-\ {{n}_{1}}=$(1 + 11 – 1) x 8 + (1 + 1 – 1)

= 11 x 8 + 1 = 89 = 90 – 1

${{n}_{3}}-\ {{n}_{2}}=$(1 + 11 + 111 – 1 – 11) x 8 + (1 + 1 + 1 – 1 – 1)

= 111 x 8 + 1 = 889 = 900 – 11

${{n}_{4}}-\ {{n}_{3}}=$1111 x 8 + 1 = 8889 = 9000 – 111

$\vdots$

${{n}_{9}}-\ {{n}_{8}}=$111111111 x 8 + 1 = 888888889

= 900000000 – 11111111

Es decir:

${{n}_{2}}=$ 90 + ${{n}_{1}}$ – 1

${{n}_{3}}=$ 900 + ${{n}_{2}}$ – 11

$\vdots$

${{n}_{9}}=$ 900000000 + ${{n}_{8}}$ – 11111111

Generalizando:

                                                             

                           ${{n}_{r}}=$ 9 x 10^(r-1) + ${{n}_{r-1}}$ – Repunit*_r-1

*Repunit: O «Repituno». Número natural como 11, 111 o 1111 que contiene solamente el dígito 1 (que en este caso se repite r-1 veces).

En palabras corrientes, comenzando por la izquierda, el primer dígito del número ${{n}_{r}}$ será un 9 y el resto, los del ${{n}_{r-1}}$ reducidos en 1. Misterio resuelto.

Ejemplo:

${{n}_{6}}=$ 987654

${{n}_{7}}=$ 9 x 10^(7-1) + 987654 –  111111 = 9876543

Incluso, podemos utilizar el mismo procedimiento para inferir otras singularidades parecidas.

Si ahora

${{n}_{2}}-\ {{n}_{1}}=$ 11 x 7 + 1 = 78 = 80 – 2 $\therefore$ ${{n}_{2}}=$ 80 + ${{n}_{1}}$– 2

${{n}_{3}}-\ {{n}_{2}}=$ 111 x 7 + 1 = 778 = 800 – 22 $\therefore$ ${{n}_{3}}=$ 800 + ${{n}_{2}}$– 22

Luego

${{n}_{r}}=$ 8 x 10^(r-1) + ${{n}_{r-1}}$ –  2 x Repunit_r-1

De acuerdo a esto, los dígitos de ${{n}_{r-1}}$ se reducirán en 2 en lugar de 1 y el primer dígito del número ${{n}_{r}}$ será 8.

Desarrollando:

1 x 7 + 1 = 8

12 x 7 + 2 = 86

123 x 7 + 3 = 864

1234 x 7 + 4 = 8642

12345 x 7 + 5 = 86420

123456 x 7 + 6 = 864198 $\Leftarrow$ ¡¿Qué pasa?!

Al llegar al cálculo de ${{n}_{6}}$ notamos que la sucesión 8, 6, 4, 2, 0… se altera. Esto sucede debido a que

${{n}_{6}}=$ 800000 + ${{n}_{5}}$ – 22222

y

${{n}_{5}}$–  22222 = 86420 – 22222 = 64198

De ahí que ${{n}_{6}}=$ 864198 y lo «curioso» de la sucesión se rompa.