Problema 01

Determina todos los números enteros positivos $n$ para los cuales $S_n=x^n+y^n+z^n$

es constante, cualesquiera que sea $x$, $y$, $z$ reales tales que $x·y·z=1$ y $x+y+z=0$.

Por simple observación $n=1$, es una solución.

Ahora, sabemos que $z=\frac{1}{x·y}$, por lo tanto

$x+y+\frac{1}{x·y}=0$, es decir, $x^2·y+x·y^2+1=0$

Obteniendo las raíces de la ecuación:

$y=\frac{-x}{2}\pm \sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}$

Dado que $z=-x-y$,

$z=\frac{-x}{2}\mp \sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}$

Quedando la ecuación principal:

$S_n\left(x\right)=x^n+{\left(-\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n+{\left(-\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

Revisando por separado el segundo y tercer sumandos:

${\left(-\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n={\left(-\frac{x}{2}\right)}^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\cdot {\left(-1\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i$
$+{\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

y

${\left(-\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$
$= {\left(-\frac{x}{2}\right)}^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\cdot {\left(-1\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(-1\right)}^i\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i$
$+{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

$={\left(-\frac{x}{2}\right)}^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\cdot {\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i+{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

Se observa que para eliminar los términos ${\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$ , debe cumplirse que

$1+{\left(-1\right)}^n=0$, por lo tanto $n$ debe ser impar.

Por lo que para $n$ impar la ecuación queda:

$S_n\left(x\right)=\left(1-\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\right)\cdot x^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\left[{\left(-1\right)}^{n-i}+{\left(-1\right)}^n\right]\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i$

De igual forma, para que $S_n\left(x\right)$sea igua a una constante, los términos de la sumatoria no deben anularse.

Tomando en cuenta lo anterior, debe cumplirse que

${\left(-1\right)}^{n-i}+{\left(-1\right)}^n\ne 0$, por lo tanto es necesario que $n-i$ sea impar, lo que solamente se consigue si $i$ es par.

Siendo así, ${\left(-1\right)}^{n-i}+{\left(-1\right)}^n=-2$,

Además tenemos que:

${\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(x^{\frac{2\cdot \left(n-i\right)}{i}}\cdot \left(\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}\right)\right)}^{i/2}$
$= {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i\right)}{i}+2\right)}}{4}-x^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i\right)}{i}-1\right)}\right)}^{i/2}$

$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-x^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)}^{i/2}$

Sustituyendo:

$S_n\left(x\right)=\left(1-\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\right)\cdot x^n-2\cdot {\sum }_{i=2}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-x^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)}^{i/2}$

Para que existan valores independientes de $x$ es necesario que $n=0$ (que sabemos no es válido) ó que $\frac{2·n}{i}-3=0$, de donde obtenemos que $i=\frac{2}{3}·n$

Nuevamente, sustituyendo:

$S_n\left(x\right)=\left(1-\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\right)\cdot x^n-2\cdot \left(\begin{array}{c}n\\ \frac{2}{3}·n\end{array}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n/3}\cdot {\left(\frac{x^3}{4}-1\right)}^{n/3}$

Es fácil ver que el desarrollo de ${\left(\frac{x^3}{4}-1\right)}^{n/3}$ cuando $n>3$, siendo impar y múltiplo de 3, generará coeficientes no nulos para $x^{n-3}$, $x^{n-6}$, etc.

Por lo tanto $n=3$.

Resumiendo, los únicos valores de $n$ que generan $Sn$ = constante son 1 y 3.