Problema 02

Probar que el número

$\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}$

es un número racional.

Solución:

Hacemos $a=\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}$

Por tanto

$a^3={\left(\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}\right)}^3$

tenemos que

$a^3=\left(88+50\cdot \sqrt{2}\right)+3\cdot \sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}\cdot {\left(\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}\right)}^2$

$\; \; \; +3\cdot {\left(\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}\right)}^2\cdot \sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}+\left(88-50\cdot \sqrt{2}\right)$

$=176+3\cdot \left(\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}\right)\cdot \left(\sqrt[3]{\left(88+50\cdot \sqrt{2}\right)\left(88-50\cdot \sqrt{2}\right)}\right)$

$=176+3\cdot a\cdot \left(\sqrt[3]{88^2-2\cdot \left(50^2\right)}\right)=176+3\cdot a\cdot \sqrt[3]{8^2\cdot 11^2-2\cdot 2^2\cdot 25^2}$

$=176+6\cdot a\cdot \sqrt[3]{8\cdot 11^2-25^2}=176+42\cdot a$

lo que implica que

$a^3-42\cdot a-176=0$

factorizando

$\left(a-8\right)\left(a^2+8\cdot a+22\right)=0$

puesto que $a^2+8\cdot a+22$ no tiene raíces reales

$a-8=0$

$a=8$

luego entonces

$\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}=8$, un número racional.