Probar que el número
3√88+50⋅√2+3√88-50⋅√2
es un número racional.
Solución:
Hacemos a=3√88+50⋅√2+3√88-50⋅√2
Por tanto
a3=(3√88+50⋅√2+3√88-50⋅√2)3
tenemos que
a3=(88+50⋅√2)+3⋅3√88+50⋅√2⋅(3√88-50⋅√2)2
+3⋅(3√88+50⋅√2)2⋅3√88-50⋅√2+(88-50⋅√2)
=176+3⋅(3√88+50⋅√2+3√88-50⋅√2)⋅(3√(88+50⋅√2)(88-50⋅√2))
=176+3⋅a⋅(3√882-2⋅(502))=176+3⋅a⋅3√82⋅112-2⋅22⋅252
=176+6⋅a⋅3√8⋅112-252=176+42⋅a
lo que implica que
a3-42⋅a-176=0
factorizando
(a-8)(a2+8⋅a+22)=0
puesto que a2+8⋅a+22 no tiene raíces reales
a-8=0
a=8
luego entonces
3√88+50⋅√2+3√88-50⋅√2=8, un número racional.
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