¿Por qué la diferencia entre el cuadrado de dos números consecutivos es igual a la suma de ambos?

Ejemplo:

$23^2=529$

$22^2=484$

$23^2-22^2=529-484=45$

$23+22=45$

Sabemos que

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$

luego entonces, entre dos números consecutivos, siendo $a$ el mayor de éstos:

$a-b=1$

y por tanto

$a^2-b^2=a+b$

Problema 02

Probar que el número

$\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}$

es un número racional.

Solución:

Hacemos $a=\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}$

Por tanto

$a^3={\left(\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}\right)}^3$

tenemos que

$a^3=\left(88+50\cdot \sqrt{2}\right)+3\cdot \sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}\cdot {\left(\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}\right)}^2$

$\; \; \; +3\cdot {\left(\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}\right)}^2\cdot \sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}+\left(88-50\cdot \sqrt{2}\right)$

$=176+3\cdot \left(\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}\right)\cdot \left(\sqrt[3]{\left(88+50\cdot \sqrt{2}\right)\left(88-50\cdot \sqrt{2}\right)}\right)$

$=176+3\cdot a\cdot \left(\sqrt[3]{88^2-2\cdot \left(50^2\right)}\right)=176+3\cdot a\cdot \sqrt[3]{8^2\cdot 11^2-2\cdot 2^2\cdot 25^2}$

$=176+6\cdot a\cdot \sqrt[3]{8\cdot 11^2-25^2}=176+42\cdot a$

lo que implica que

$a^3-42\cdot a-176=0$

factorizando

$\left(a-8\right)\left(a^2+8\cdot a+22\right)=0$

puesto que $a^2+8\cdot a+22$ no tiene raíces reales

$a-8=0$

$a=8$

luego entonces

$\sqrt[3]{88+50\cdot \sqrt{2}}+\sqrt[3]{88-50\cdot \sqrt{2}}=8$, un número racional.  

Dead Man (Caligrama)

Misterio

Muerto el sol, queda el silenciO.

Inicio de la noche y frenesÍ.

Sahumerios y perfume desde el maR,

Taciturno y burbujeantE.

Elevo mis plegarias al ceniT,

Rezos perdidoS,

Inútiles palabras para tI.

Océano y soledad serán mi réquieM.

Mi Padre

Finalmente conocí a mi padre, después de muchos años de vivir con él.
Y es que fue ahí, junto al mar, donde vi su ser auténtico, sin filtros.
Un metro ochenta de cuerpo moreno, antaño musculoso, ahora con los primeros signos de la vejez.
Cabello lacio que escasea, barba abundante, arrugas primerizas, ojos café colmados de vivencias.
Las manos gruesas, fuertes, callosas, memoria fiel de una vida de trabajo en el campo.
Es un coloso, ahora lo sé, que hoy que comienza a derrumbarse.
La fuerza de su espalda ahora es un mito hermoso que se disuelve entre las olas.

El Cielo

De dónde viene el cielo,
de arriba,
de abajo,
de ninguna parte,
quizá no ha nacido todavía
tal vez ha muerto varias veces.

Decorado con sábanas fantasmas,
ensuciado con lágrimas,
poblado con ángeles soberbios,
me lo imagino yo.

Tan viejo como fue,
tan joven como es,
se esconde tras el brillo de tus ojos,
si es que es él,
cuando lo quiero ver.

Poetuits Nocturnos

#Poetuit I

La noche cae sobre sí misma,

en un millón de capas sobrepuestas. 

Sabe a Dios,a muerte y a silencio,

es un pájaro que vuela entre los párpados.

#Poetuit II

Hace mil años que duermo,

en tierra fría me he convertido,

he perdido la conciencia, soy la Nada,

el barro que se pudre entre tus manos

#Poetuit III

Salta la luna por la ventana, 

se arroja valiente hacia el vacío, 

un sueño de sueños y albedrío, 

un hambre de tiempo y de mañana. 

Ciudad desconocida

7 de septiembre de 1804.

Escribo estas líneas en las paredes de mi celda sólo para mantener la mente ocupada. Tengo tres días en cautiverio, soy Matías Carrasco, navegante experimentado. No puedo levantarme, las cadenas no me lo permiten. Desde el naufragio no he visto ni oído a mis captores, me asisten a través de una pequeña rendija. Me intriga el silencio que se cuela entre las rejas de la ventana.

12 de septiembre de 1804. 

Ayer desperté sin cadenas, seguro me las retiraron mientras dormía. Por la tarde me asomé por la ventana, lo que vi me hizo perder toda esperanza. Como único paisaje había mil, diez mil, o más ventanas idénticas a la mía y en cada una descubrí mi rostro tras las rejas. Yo como único habitante, yo como celador y prisionero, yo perdido en esta ciudad desconocida.

Insomnio

Cascada congelada, en la mirada vacía, de sol, de plazos, de universos dorados y ficticios.

Nadar en la mañana, al mediodía, de noche, a cualquier hora maldita, temblando, resbalándose del cuerpo al río.

Me digo que no puedo, y puedo hacerlo. Espero y desespero, escojo las palabras que se rompen en palabras, en hielo, en lágrimas vacías, en fuegos fatuos inmortales.

Soy un vago con la cara sucia, me digo que no veo y me veo decirlo, ya me conozco, al menos. 

¿Dónde están tus silencios y tus ojos?

Tu voz y tu mirada, perdidos en el fondo, ahogados en el agua, en el fuego, en las palabras muertas de este río.

Cansado de llorar me vuelvo arena, río desecado, terreno estéril, guerra perdida.

Hoy no pude dormir, ni lo haré nunca. Sigo nadando.

Problema 01

Determina todos los números enteros positivos $n$ para los cuales $S_n=x^n+y^n+z^n$

es constante, cualesquiera que sea $x$, $y$, $z$ reales tales que $x·y·z=1$ y $x+y+z=0$.

Por simple observación $n=1$, es una solución.

Ahora, sabemos que $z=\frac{1}{x·y}$, por lo tanto

$x+y+\frac{1}{x·y}=0$, es decir, $x^2·y+x·y^2+1=0$

Obteniendo las raíces de la ecuación:

$y=\frac{-x}{2}\pm \sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}$

Dado que $z=-x-y$,

$z=\frac{-x}{2}\mp \sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}$

Quedando la ecuación principal:

$S_n\left(x\right)=x^n+{\left(-\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n+{\left(-\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

Revisando por separado el segundo y tercer sumandos:

${\left(-\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n={\left(-\frac{x}{2}\right)}^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\cdot {\left(-1\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i$
$+{\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

y

${\left(-\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$
$= {\left(-\frac{x}{2}\right)}^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\cdot {\left(-1\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(-1\right)}^i\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i$
$+{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

$={\left(-\frac{x}{2}\right)}^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\cdot {\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i+{\left(-1\right)}^n\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$

Se observa que para eliminar los términos ${\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^n$ , debe cumplirse que

$1+{\left(-1\right)}^n=0$, por lo tanto $n$ debe ser impar.

Por lo que para $n$ impar la ecuación queda:

$S_n\left(x\right)=\left(1-\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\right)\cdot x^n+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\left[{\left(-1\right)}^{n-i}+{\left(-1\right)}^n\right]\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i$

De igual forma, para que $S_n\left(x\right)$sea igua a una constante, los términos de la sumatoria no deben anularse.

Tomando en cuenta lo anterior, debe cumplirse que

${\left(-1\right)}^{n-i}+{\left(-1\right)}^n\ne 0$, por lo tanto es necesario que $n-i$ sea impar, lo que solamente se consigue si $i$ es par.

Siendo así, ${\left(-1\right)}^{n-i}+{\left(-1\right)}^n=-2$,

Además tenemos que:

${\left(\frac{x}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^i={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(x^{\frac{2\cdot \left(n-i\right)}{i}}\cdot \left(\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}\right)\right)}^{i/2}$
$= {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i\right)}{i}+2\right)}}{4}-x^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i\right)}{i}-1\right)}\right)}^{i/2}$

$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-x^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)}^{i/2}$

Sustituyendo:

$S_n\left(x\right)=\left(1-\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\right)\cdot x^n-2\cdot {\sum }_{i=2}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}\cdot {\left(\frac{x^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-x^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)}^{i/2}$

Para que existan valores independientes de $x$ es necesario que $n=0$ (que sabemos no es válido) ó que $\frac{2·n}{i}-3=0$, de donde obtenemos que $i=\frac{2}{3}·n$

Nuevamente, sustituyendo:

$S_n\left(x\right)=\left(1-\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\right)\cdot x^n-2\cdot \left(\begin{array}{c}n\\ \frac{2}{3}·n\end{array}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n/3}\cdot {\left(\frac{x^3}{4}-1\right)}^{n/3}$

Es fácil ver que el desarrollo de ${\left(\frac{x^3}{4}-1\right)}^{n/3}$ cuando $n>3$, siendo impar y múltiplo de 3, generará coeficientes no nulos para $x^{n-3}$, $x^{n-6}$, etc.

Por lo tanto $n=3$.

Resumiendo, los únicos valores de $n$ que generan $Sn$ = constante son 1 y 3.

Brian Greene | El Universo Elegante

Desde siempre, una de mis grandes aficiones ha sido la ciencia y me impresiona su capacidad para explicar al mundo que nos rodea. Particularmente el tema de la astrofísica, el estudio de la física del universo, me parece que arroja las preguntas más trascendentales: ¿Cuál es el origen del universo?, ¿tiene límites?, ¿llegará a su fin algún día?, ¿qué es un agujero negro?, etc.

Para comprender del todo este tipo de preguntas, y quizás proponer respuestas, sería necesario tener una sólida y extensa formación científica, sin embargo, para las personas que no podemos clasificarnos dentro de esa categoría, existen excelentes libros de divulgación donde las explicaciones son claras y están basadas en ejemplos cotidianos. Un paradigma de lo anterior es el aclamado libro “Historia del tiempo” de Stephen W. Hawking, publicado por primera vez en 1988.

Habiendo leído la obra del doctor Hawking, que posee la notable característica de incitar al lector a buscar más información sobre los temas que expone, a lo largo de los años acudí a textos de otros científicos de renombre, incluyendo al mismo Hawking, pero no fue hasta que me topé con “El universo elegante” de Brian Greene que creí encontrar a un digno heredero de “Historia del tiempo”.

Brian Greene es un físico teórico de 50 años, prodigio matemático en la infancia, que es profesor en la Universidad de Columbia desde 1996. En “El universo elegante” narra con asombrosa claridad el desarrollo de la física del siglo XX, repasa la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, para luego internarse en los terrenos de la teoría de cuerdas, su especialidad.

En el libro se explica la incompatibilidad, en su formulación actual, de la teoría de la relatividad general y la mecánica cuántica, siendo la teoría de cuerdas, también llamada de supercuerdas, la teoría que ofrece mayores expectativas de unificar las cuatro grandes fuerzas de la Naturaleza: electromagnetismo, fuerza nuclear fuerte, fuerza nuclear débil y la gravedad. Lo que equivale a unificar física cuántica y relatividad. Retomando así la tarea que Albert Einstein dejó pendiente.

Puede tenerse la impresión de que entender lo anterior es demasiado complicado, nada más alejado de la realidad. Si bien es cierto que, como se mencionó antes, para volverse un experto en la materia habría que ser físico teórico, con la ayuda de libros como éste y unos pocos conocimientos básicos de física, podemos lograr una buena comprensión del universo y sus misterios.

A manera de colofón dejo las palabras que sobre el libro pronunció otro destacado científico, Michio Kaku:

“Greene ha hecho un trabajo soberbio al presentarnos cuestiones complejas de una forma no sólo amena, sino intrigante. Recomiendo encarecidamente la lectura de este libro a cualquiera que alguna vez se haya preguntado, como hizo Einstein, si Dios creó el universo jugando a los dados”.

Chuck Palahniuk | Fight Club

Fight Club (El Club de la Pelea o El Club de la Lucha) es uno de esos poquísimos casos en que es difícil decidirse entre qué es mejor, el libro o la adaptación cinematográfica.

La historia va sobre un narrador anónimo (Edward Norton en la película) que odia su trabajo como perito de una aseguradora. Padece de insomnio y vive, como tantos otros, encerrado en la rutina diaria. Los frecuentes viajes que realiza por cuestiones laborales son para él una tortura y le generan pensamientos suicidas:

“Cada vez que el avión se ladeaba en exceso al despegar o al aterrizar, rezaba para que nos estrellásemos.”

Todo cambia cuando conoce a Tyler Durden (en la película interpretado por Brad Pitt), una suerte de psicópata anticonsumista que tiene varios empleos mal pagados, y en los que se dedica a realizar barbaridad y media.

Tyler Durden se convierte en un gurú para el narrador, a quien incita a formar un club clandestino donde los asistentes pelean a mano limpia y cuyas reglas son:

“La primera regla del club de lucha es que no se habla del club de lucha.”

“La segunda regla del club de lucha es que no se habla del club de lucha.”(sic)

“…la tercera regla del club de lucha: cuando alguien dice basta o resulta herido, aunque esté fingiendo, se da por terminada la pelea.”

“Sólo dos hombres por combate. Un combate cada vez. Se lucha sin camisa ni zapatos. El combate dura lo que haga falta.”

”… si ésta es tu primera noche en el club de lucha, tienes que luchar.”

Aunque al libro se le ha tachado de promover la violencia y la conducta autodestructiva, son más quienes ven en él un análisis mordaz de la sociedad actual, a la que exhibe como totalmente entregada al consumo y manipulada en extremo por la publicidad y la moda.

”Somos los hijos medianos de la historia, educados por la televisión para creer que un día seremos millonarios y estrellas de cine y estrellas de rock, pero no es así. Y acabamos de darnos cuenta.”

“Hay un tipo de mujeres y de hombres jóvenes y fuertes que quieren dar sus vidas por una causa. La publicidad hace que compren ropas y coches que no necesitan. Generaciones y generaciones han desempeñado trabajos que odiaban para poder comprar cosas que en realidad no necesitan.”

Tyler Durden plantea la destrucción total de la civilización, una “glaciación cultural”, como él le llama, hasta el día en que la Tierra se recupere del mal que la humanidad le ha causado:

“Cazarás alces en los bosques húmedos del cañón cercano a las ruinas del Rockefeller Center y encontrarás almejas enterradas junto a los cuarenta y cinco grados de inclinación de la Aguja Espacial. Pintaremos en los rascacielos gigantescas caras totémicas y amuletos antropomórficos con rostros de duendes, y todas las noches, lo que haya quedado de la humanidad se refugiará en los zoológicos vacíos y se encerrará en las jaulas para protegerse de los osos, pumas y lobos que se pasean de noche mientras les vigilan por entre los barrotes.”

En el plano cinematográfico, hay que decir que el filme tiene algunas diferencias notables con el libro, pero está igualmente bien logrado. Dirigida por David Fincher, El Club de la Pelea se ha convertido en una película de culto.

Para destacar: la vuelta de tuerca de la historia, imperdible.