Cuarto
desafío de verano que nos traen la Real Sociedad Matemática
Española y El País, del estilo a los que se propusieron celebrando el Centenario de la RSME y
en las dos últimas navidades. En esta ocasión lo propone Javier
Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid
(UAM) y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) que,
por cierto, ha colaborado un par de veces en Gaussianos (hablándonos sobre el problema de los
conjuntos generalizados de Sidon y sobre Endre Szemerédi).
El
desafío se desarrolla en una mesa de billar (sin agujeros) de un metro de ancho
por dos metros de largo. Golpeamos una bola situada en el centro de la mesa de
tal manera que regresa al centro de la mesa por primera vez después de
haber recorrido exactamente 25 metros.
El reto
es responder a la siguiente pregunta: ¿cuántas veces ha rebotado la
bola en las bandas? La solución deberá ir acompañada de la
correspondiente explicación.
OBSERVACIÓN
IMPORTANTE: Se asume que se golpea a la bola sin ningún tipo
de efecto y que esta es tan pequeña que podemos suponer que es un punto. La
bola no tiene por qué seguir a trayectoria dibujada en la figura de abajo, que
es simplemente un ejemplo para ilustrar cómo sería su movimiento.
Mi
solución:
Partamos de la
representación gráfica de un tiro cualquiera:
Sabemos que, al rebotar contra
una de las bandas, el ángulo de incidencia de la bola es igual al ángulo de
reflexión.
Si «reflejamos» la mesa de
billar respecto a la primera banda en que rebota la bola (c-d), obtenemos el
siguiente esquema:
Llamando 0 al punto
inicial de la bola (centro de la mesa), los segmentos 0-1 y 1-2’ son ahora
colineales.
De igual manera, «reflejando»
ahora respecto a b’-d:
Y luego respecto a a’’-b’:
De esta forma, sin perder
la esencia y objetivo del problema, los segmentos 0-1, 1-2’, 2’-3’’ y 3’’-4’’ son colineales
y sus longitudes son equivalentes a las de 0-1, 1-2, 2-3 y 3-4,
respectivamente.
La longitud total, 0-4’’,
puede obtenerse fácilmente a través del teorema de Pitágoras.
Así, todo se reduce a
encontrar una terna pitagórica del tipo:
a2
+ b2 = (25)2
Los únicos valores enteros
que cumplen lo anterior son:
·
a
= 15 y b = 20 (o bien b = 15 y a = 20).
·
a
= 7 y b = 24 (o bien b = 7 y a = 24).
Además, considerando las
dimensiones de la mesa (2 metros de largo por 1 de ancho) y las condiciones del
problema (la bola debe volver al centro de la mesa), para que la solución sea válida,
la terna pitagórica debe ser de la forma:
(2·m)2 + n2
= (25)2
Lo anterior queda más claro apoyándose en la
siguiente figura:
De aquí también se hace
evidente que el número total de rebotes será igual al número de intersecciones
de la trayectoria con las líneas horizontales y verticales, es decir:
Intersecciones con líneas
verticales = (2·m)/2 = m (hay una
línea vertical cada 2 metros).
Intersecciones con líneas horizontales
= n
Total de rebotes = m + n
a)
Si
a = 15 y b = 20.
Puesto que 20 es par:
2·m = b = 20
m = 10
n = a = 15
Dibujando:
Total de rebotes = m + n =
10 +15 = 25
Ángulo de tiro = arctan(15/20)
= 36.87º
Sin embargo, observamos
que la bola regresa al centro de la mesa cada 5 rebotes, es decir, completa 5
ciclos de 5 metros cada uno hasta cubrir los 25 m. Como la bola debe regresar
al centro de la mesa por PRIMERA VEZ
después de haber recorrido los 25 metros, esta solución no se acepta.
b)
Si
a = 7 y b = 24.
Ya que 24 es par:
2·m = b = 24
m = 12
n = a = 7
De nuevo, dibujamos:
Total de rebotes = m + n =
12 + 7 = 19
La
bola rebota 19 veces en las bandas, antes de volver al centro de la mesa.
Ángulo de tiro = arctan(7/24)
= 16.26º
Finalmente, se muestran
los 19 rebotes y sus longitudes:
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