Desafíos Matemáticos en El País, verano 2014 – Desafío 3: «Un torneo de verano».

EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española plantean el tercer desafío matemático del verano. En esta ocasión, presenta el desafío Manuel Abellanas, de la Universidad Politécnica de Madrid.

Para evitar errores y en atención a nuestros lectores sordos, además del vídeo donde se plantea el desafío, publicamos a continuación el enunciado por escrito:

Mi amigo Ferran, además de ser un gran geómetra, es un buen aficionado al fútbol. A mí me parecían dos aficiones muy dispares, hasta que me enteré de que un buen entrenador debe saber Geometría: saber triangular convenientemente puede ser la clave del éxito en un partido. ¡Que se lo digan a Pep Guardiola!

Para amenizar las tardes del verano, proponemos el siguiente juego. Se trata de obtener una triangulación de los once jugadores de un equipo de fútbol. Para ello, basta con reunir a algunos amigos y explicarles las siguientes reglas. Es recomendable usar papel y lápiz, aunque también se puede practicar dibujando en la arena de la playa.

 Las reglas son las siguientes:

- Un jugador dibuja un rectángulo y pide a otro que dibuje dentro de él 11 puntos (ya tenemos el campo y los jugadores).

- A continuación, por orden de edad, de menor a mayor, cada jugador en su turno conecta una pareja de puntos dibujando una línea recta que los una.

- Al dibujar una línea se deben respetar tres condiciones: las líneas no pueden salirse del rectángulo, no pueden atravesar a otra ya dibujada y tampoco pueden conectar dos puntos ya unidos previamente.

- Llegará un momento en que no será posible unir más puntos sin incumplir alguna de las condiciones. Cuando esto ocurra, la triangulación está terminada y el juego acaba. El ganador es el jugador que haya dibujado la última línea.

 Y ahora, el desafío:

El reto consiste en averiguar quién ganará la partida si se colocan cuatro de los once puntos en las cuatro esquinas del campo, manteniendo los otros siete en el interior, y participan en el juego cinco amigos. Como siempre, además de la respuesta correcta, se debe explicar razonadamente el porqué.

Mi solución:

Consideremos el siguiente croquis del problema:

Para los siete puntos interiores, la suma de los ángulos de los vértices concurrentes será igual a 360º:

De igual forma, para los cuatro puntos exteriores, la suma de los ángulos de los vértices concurrentes será igual a 90º:

Como es evidente, cualquier triangulación válida que se elija nos llevará a

\[Suma\ total\ de\ \acute{a}ngulos\ interiores=4\cdot \left( \frac{\pi }{2} \right)+7\cdot \left( 2\cdot \pi  \right)=16\cdot \pi \ rad\]

Puesto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual 180º ó $\pi $ radianes, se tiene que:

\[Total\ de\ tri\acute{a}ngulos\ interiores=16\]

Lo que se comprueba en la siguiente figura:

Se tienen 16 triángulos, con un total de lados = 16 x 3 = 48, de los cuales:

—   4 pertenecen solamente a un triángulo (perímetro el rectángulo).

—   44 son comunes a dos triángulos.

Por lo tanto, el total de líneas es igual a:

$4+\frac{44}{2}=26$ Líneas

Gráficamente:

Finalmente, dado que:

$26\equiv 1\ \bmod 5$

El ganador es el jugador más joven.

¡Bendita juventud!

Nota:

También es posible llegar a la solución utilizando la característica de Euler-Poincaré:

$V-A+C=2$

V= número de vértices = 11

C = número de caras = 16 + 1 = 17 (16 triángulos más el rectángulo exterior).

A = número de aristas (líneas —por determinar—).

Sustituyendo y despejando:

  $11-A+17=2$

$\therefore \ A=26$