Curiosa suma

a)   ¿Es correcta la siguiente igualdad?

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9$

b)   ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?

$\frac{1}{\sqrt{529}+\sqrt{530}}+\frac{1}{\sqrt{530}+\sqrt{531}}+...+\frac{1}{\sqrt{574}+\sqrt{575}}+\frac{1}{\sqrt{575}+\sqrt{576}}=?$

Solución

a)   Trabajando con los sumandos:

$\left( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} \right)\centerdot \left( \frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}} \right)=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{{{\left( \sqrt{1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$

$\left( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \right)\centerdot \left( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \right)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\centerdot $

$\centerdot $

$\centerdot $

$\left( \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} \right)\centerdot \left( \frac{\sqrt{98}-\sqrt{99}}{\sqrt{98}-\sqrt{99}} \right)=\frac{\sqrt{98}-\sqrt{99}}{98-99}=\frac{\sqrt{98}-\sqrt{99}}{-1}=\sqrt{99}-\sqrt{98}$

$\left( \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \right)\centerdot \left( \frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{99}-\sqrt{100}} \right)=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}=\sqrt{100}-\sqrt{99}$

Agrupando términos:

$-\sqrt{1}+\left( \sqrt{2}-\sqrt{2} \right)+\left( \sqrt{3}-\sqrt{3} \right)+...+\left( \sqrt{99}-\sqrt{99} \right)+\sqrt{100}$

$=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9$ 

a)   Observando el procedimiento del inciso anterior, es fácil ver que la suma es igual a:

$\sqrt{576}-\sqrt{529}=24-23=1$