EL
PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española plantean el tercer desafío
matemático del verano. En esta ocasión, presenta el desafío Manuel Abellanas,
de la Universidad Politécnica de Madrid.
Para
evitar errores y en atención a nuestros lectores sordos, además del vídeo donde
se plantea el desafío, publicamos a continuación el enunciado por escrito:
Mi
amigo Ferran, además de ser un gran geómetra, es un buen aficionado al fútbol.
A mí me parecían dos aficiones muy dispares, hasta que me enteré de que un buen
entrenador debe saber Geometría: saber triangular convenientemente puede ser la
clave del éxito en un partido. ¡Que se lo digan a Pep Guardiola!
Para
amenizar las tardes del verano, proponemos el siguiente juego. Se trata de
obtener una triangulación de los once jugadores de un equipo de fútbol. Para
ello, basta con reunir a algunos amigos y explicarles las siguientes reglas. Es
recomendable usar papel y lápiz, aunque también se puede practicar dibujando en
la arena de la playa.
Las reglas son las siguientes:
-
Un jugador dibuja un rectángulo y pide a otro que dibuje dentro de él 11 puntos
(ya tenemos el campo y los jugadores).
-
A continuación, por orden de edad, de menor a mayor, cada jugador en su turno
conecta una pareja de puntos dibujando una línea recta que los una.
-
Al dibujar una línea se deben respetar tres condiciones: las líneas no pueden
salirse del rectángulo, no pueden atravesar a otra ya dibujada y tampoco pueden
conectar dos puntos ya unidos previamente.
-
Llegará un momento en que no será posible unir más puntos sin incumplir alguna
de las condiciones. Cuando esto ocurra, la triangulación está terminada y el
juego acaba. El ganador es el jugador que haya dibujado la última línea.
Y ahora, el desafío:
El
reto consiste en averiguar quién ganará la partida si se colocan cuatro de los
once puntos en las cuatro esquinas del campo, manteniendo los otros siete en el
interior, y participan en el juego cinco amigos. Como siempre, además de la
respuesta correcta, se debe explicar razonadamente el porqué.
Mi
solución:
Consideremos el siguiente croquis
del problema:
Para los siete puntos
interiores, la suma de los ángulos de los vértices concurrentes será igual a
360º:
De igual forma, para los cuatro
puntos exteriores, la suma de los ángulos de los vértices concurrentes será
igual a 90º:
Como es evidente, cualquier
triangulación válida que se elija nos llevará a
\[Suma\ total\ de\
\acute{a}ngulos\ interiores=4\cdot \left( \frac{\pi }{2} \right)+7\cdot \left(
2\cdot \pi \right)=16\cdot \pi \ rad\]
Puesto que la suma de los
ángulos interiores de un triángulo es igual 180º ó $\pi $ radianes, se tiene
que:
\[Total\ de\
tri\acute{a}ngulos\ interiores=16\]
Lo que se comprueba en la
siguiente figura:
Se tienen 16 triángulos,
con un total de lados = 16 x 3 = 48, de los cuales:
—
4
pertenecen solamente a un triángulo (perímetro el rectángulo).
—
44
son comunes a dos triángulos.
Por lo tanto, el total de líneas
es igual a:
$4+\frac{44}{2}=26$ Líneas
Gráficamente:
Finalmente, dado que:
$26\equiv 1\ \bmod 5$
El
ganador es el jugador más joven.
¡Bendita
juventud!
Nota:
También es posible llegar
a la solución utilizando la característica de Euler-Poincaré:
$V-A+C=2$
V= número de vértices = 11
C = número de caras = 16 +
1 = 17 (16 triángulos más el rectángulo exterior).
A = número de aristas (líneas
—por determinar—).
Sustituyendo y despejando:
$11-A+17=2$
$\therefore \ A=26$
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