Con frecuencia he visto
circular por las redes sociales la siguiente curiosidad aritmética:
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
Bien, pues resulta que «destripar»
este asunto es más simple de lo que parece.
Si ${{n}_{1}}=\,$ 1 x 8 + 1, ${{n}_{2}}=\,$
12 x 8 + 2, ${{n}_{3}}=\,$ 123 x 8 + 3, …, ${{n}_{9}}=\,$ 123456789 x 8 + 9;
tenemos que:
${{n}_{1}}=\,$ 1 x 8 + 1
${{n}_{2}}=\,$ (1 + 11) x 8 + (1 + 1)
${{n}_{3}}=\,$ (1 + 11 + 111) x 8 + (1 + 1 + 1)
$\vdots $
${{n}_{9}}=\,$ (1 + 11 + … + 111111111) x 8 + (1 + 1
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
De ahí que:
\({{n}_{2}}-\ {{n}_{1}}=\)(1 + 11 – 1) x 8 + (1 + 1
– 1)
= 11 x 8 + 1 = 89 = 90 – 1
\({{n}_{3}}-\ {{n}_{2}}=\)(1 + 11 + 111 – 1 – 11) x
8 + (1 + 1 + 1 – 1 – 1)
= 111 x 8 + 1 = 889 = 900 – 11
\({{n}_{4}}-\ {{n}_{3}}=\)1111 x 8 + 1 = 8889 = 9000
– 111
$\vdots $
\({{n}_{9}}-\ {{n}_{8}}=\)111111111 x 8 + 1 =
888888889
= 900000000 – 11111111
Es decir:
\({{n}_{2}}=\) 90 + ${{n}_{1}}$ – 1
\({{n}_{3}}=\) 900 + ${{n}_{2}}$ – 11
$\vdots $
\({{n}_{9}}=\) 900000000 + ${{n}_{8}}$ – 11111111
Generalizando:
\({{n}_{r}}=\)
9 x 10(r-1) + ${{n}_{r-1}}$ – Repunit*r-1
*Repunit: O «Repituno». Número
natural como 11, 111 o 1111 que contiene solamente el dígito 1 (que en este
caso se repite r-1 veces).
En palabras corrientes,
comenzando por la izquierda, el primer dígito del número \({{n}_{r}}\) será un
9 y el resto, los del \({{n}_{r-1}}\) reducidos en 1. Misterio resuelto.
Ejemplo:
\({{n}_{6}}=\) 987654
\({{n}_{7}}=\) 9 x 10(7-1) + 987654
– 111111 = 9876543
Incluso, podemos utilizar el
mismo procedimiento para inferir otras singularidades parecidas.
Si ahora
\({{n}_{2}}-\ {{n}_{1}}=\) 11 x 7 + 1 = 78 = 80 – 2 $\therefore
$ \({{n}_{2}}=\) 80 + ${{n}_{1}}$– 2
\({{n}_{3}}-\ {{n}_{2}}=\) 111 x 7 + 1 = 778 = 800 –
22 $\therefore $ \({{n}_{3}}=\) 800 + ${{n}_{2}}$– 22
Luego
\({{n}_{r}}=\) 8 x 10(r-1) + ${{n}_{r-1}}$
– 2 x Repunitr-1
De acuerdo a esto, los dígitos
de ${{n}_{r-1}}$ se reducirán en 2 en lugar de 1 y el primer dígito del número ${{n}_{r}}$
será 8.
Desarrollando:
1 x 7 + 1 = 8
12 x 7 + 2 = 86
123 x 7 + 3 = 864
1234 x 7 + 4 = 8642
12345 x 7 + 5 = 86420
123456 x 7 + 6 = 864198 $\Leftarrow $ ¡¿Qué pasa?!
Al llegar al cálculo de \({{n}_{6}}\)
notamos que la sucesión 8, 6, 4, 2, 0… se altera. Esto sucede debido a que
\({{n}_{6}}=\) 800000 + ${{n}_{5}}$ – 22222
y
${{n}_{5}}$– 22222
= 86420 – 22222 = 64198
De ahí que \({{n}_{6}}=\) 864198
y lo «curioso» de la sucesión se rompa.
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