Desafío Extraordinario de Navidad de 2013 del diario español «El País»

El encargado de presentar el Desafío Extraordinario de Navidad de 2013 es Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

El equipo que preparamos los desafíos matemáticos hemos decidido abonarnos durante todo el año a un número de la Lotería. Para elegir ese número, que debe estar comprendido entre el 0 y el 99.999, pusimos como condición que tuviese las cinco cifras distintas y que, además, cumpliese alguna otra propiedad interesante. Finalmente hemos conseguido un número que tiene la siguiente propiedad: si numeramos los meses del año del 1 al 12, en cualquier mes del año ocurre que al restar a nuestro número de lotería el número del mes anterior, el resultado es divisible por el número del mes en el que estemos. Y esto sucede para cada uno de los meses del año.

Es decir, si llamamos L a nuestro número, tenemos por ejemplo que en marzo L-2 es divisible entre 3 y en diciembre L-11 es divisible entre 12.

El reto que os planteamos es que nos digáis a qué número de Lotería estamos abonados y que nos expliquéis cómo lo habéis encontrado.

Mi solución:

Tenemos un total de doce números consecutivos:

L-11, L-10, L-9, L-8, L-7, L-6, L-5, L-4, L-3, L-2, L-1, L

Divisibles cada uno respectivamente por:

12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 (aunque el 1 es un divisor trivial se incluye para dar mayor claridad al procedimiento).

Sabemos que si un número entero m divide exactamente a otro llamado r, r+m también será divisible exactamente entre m.

Por lo tanto, si L-11 es divisible entre 12, también lo será L-11+12 = L+1.

De igual forma, si L-10 es divisible entre 11, L-10+11 = L+1 es divisible entre 11; si L-9 es divisible entre 10, L-9+10 = L+1 es divisible entre 10; etc.

Resumiendo:

L+1 es un número entero divisible exactamente entre 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1.

Entonces, L+1 es un número de la forma k·n, donde k es el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1.

k = m.c.m. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) = 27720

L+1 = 27720·n

Por consiguiente:

L = 27720·n – 1

donde n es un número entero, mayor que cero.

L = {27719, 55439, 83159, 110879, 138599,..., 27720·n – 1}

Aplicando las condiciones del problema (debe estar comprendido entre el 0 y el 99,999, y con las cinco cifras distintas) tenemos que la solución se da para n=3: 

L = 27720·(3) – 1 = 83159

El número buscado es 83159.