Se
realiza la remodelación de una plaza pública. Por consideraciones
arquitectónicas, es necesario ubicar un monumento en una plataforma cuadrada
ABCD. Para ello debe cumplirse lo siguiente:
Las
distancias desde el punto P (centro del monumento, visto en planta) a los
vértices A, D y C deberán ser r, 2r y 3r,
respectivamente.
Hállese
la posición del punto P en el interior de la plataforma, así como el valor del
ángulo <APD.
Solución.
Nota:
Existen muchas formas de resolver este problema, la solución que propongo es
tan sólo una de ellas. Les invito a trabajar en una diferente.
Tomando
el vértice A como el origen, las coordenadas de los vértices serían las
siguientes:
A (0,0), B (L,0), C (L,L) y D
(0,L);
donde L es
el lado del cuadrado ABCD.
El
punto P debe ser la intersección de tres circunferencias; con centros en A, D y
C.
(2)
${{x}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}={{(2r)}^{2}}=4{{r}^{2}}$
(3)
${{(x-L)}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}={{(3r)}^{2}}=9{{r}^{2}}$
Sustituyendo el valor de r2 de la ecuación (1) en la
(2):
${{x}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}=4({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$
$\frac{{{L}^{2}}}{3}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{2}{3}\cdot
y\cdot L$
$\frac{{{L}^{2}}}{3}+\frac{{{L}^{2}}}{9}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{2}{3}\cdot
y \cdot L+\frac{{{L}^{2}}}{9}$, reagrupando términos:
(4)
${{x}^{2}}+{{(y+\frac{L}{3})}^{2}}={{(\frac{2}{3}\cdot
L)}^{2}}$
${{(x-L)}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}=9({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$
$\frac{{{L}^{2}}}{4}={{x}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot
x\cdot L+{{y}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot y\cdot L$
$\frac{{{L}^{2}}}{4}+\frac{{{L}^{2}}}{64}+\frac{{{L}^{2}}}{64}={{x}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot
x\cdot L+\frac{{{L}^{2}}}{64}+{{y}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot y\cdot L+\frac{{{L}^{2}}}{64}$
(5)
${{(x+\frac{L}{8})}^{2}}+{{(y+\frac{L}{8})}^{2}}={{(\frac{3}{4\cdot
\sqrt{2}}\cdot L)}^{2}}$
Las
ecuaciones (4) y (5) representan 2 círculos de radio $\frac{2}{3}\cdot L$ y $\frac{3}{4\cdot \sqrt{2}}\cdot L$, cuyos
centros son:
c1
(0, -L/3)
y c2 (-L/8, -L/8),
respectivamente.
Si restamos la ecuación (5) de la (4), obtenemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección P y P’.
*Observación:
Aunque el punto P’ “cumple” con las condiciones del problema, se encuentra
fuera del cuadrado ABCD y la única solución elegible es P.
$\frac{-x\cdot L}{4}+\frac{5\cdot y\cdot
L}{12}=\frac{{{L}^{2}}}{12}$
Sustituyendo (6) en (4) y simplificando:
$17{{x}^{2}}+8\cdot x\cdot
L-2\cdot {{L}^{2}}=0$
Resolviendo
para x:
$x=\left(
\frac{-4\pm 5\sqrt{2}}{17} \right)\cdot \text{L}$, por lo tanto ${{X}_{p}}=\left(
\frac{-4+5\sqrt{2}}{17} \right)\cdot \text{L}$ (Valor positivo)
Sustituyendo
en (6):
${{Y}_{p}}=\left(
\frac{1+3\sqrt{2}}{17} \right)\cdot \text{L}$
Sustituyendo
ambos valores en la ecuación (1):
${{r}^{2}}=\left(
\frac{5-2\sqrt{2}}{17} \right)\cdot {{\text{L}}^{2}}$
$r=\sqrt{\left(
\frac{5-2\sqrt{2}}{17} \right)}\cdot \text{L}$
Para
determinar el valor del ángulo <APD
utilizaremos la Ley de Cosenos:
$\cos
\alpha =\frac{5{{r}^{2}}-{{L}^{2}}}{4{{r}^{2}}}$
Al
sustituir el valor de r,
obtenemos:
$\cos
\alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}\therefore \alpha =\frac{3}{4}\cdot \pi
=135{}^\circ$
.jpg){kind=spacer}
