Problema del Monumento

Se realiza la remodelación de una plaza pública. Por consideraciones arquitectónicas, es necesario ubicar un monumento en una plataforma cuadrada ABCD. Para ello debe cumplirse lo siguiente:

Las distancias desde el punto P (centro del monumento, visto en planta) a los vértices A, D y C deberán ser r, 2r y 3r, respectivamente.

Hállese la posición del punto P en el interior de la plataforma, así como el valor del ángulo <APD.

Solución.

Nota: Existen muchas formas de resolver este problema, la solución que propongo es tan sólo una de ellas. Les invito a trabajar en una diferente.

Tomando el vértice A como el origen, las coordenadas de los vértices serían las siguientes:

A (0,0), B (L,0), C (L,L) y D (0,L); donde L es el lado del cuadrado ABCD.

El punto P debe ser la intersección de tres circunferencias; con centros en A, D y C.

(1)     ${x^2} + {y^2} = {r^2}$

(2)     ${{x}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}={{(2r)}^{2}}=4{{r}^{2}}$

(3)     ${{(x-L)}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}={{(3r)}^{2}}=9{{r}^{2}}$

Sustituyendo el valor de r² de la ecuación (1) en la (2):

${{x}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}=4({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$

 $\frac{{{L}^{2}}}{3}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{2}{3}\cdot y\cdot L$

 $\frac{{{L}^{2}}}{3}+\frac{{{L}^{2}}}{9}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{2}{3}\cdot y \cdot L+\frac{{{L}^{2}}}{9}$, reagrupando términos:

(4)     ${{x}^{2}}+{{(y+\frac{L}{3})}^{2}}={{(\frac{2}{3}\cdot L)}^{2}}$

De igual manera, sustituyendo el valor de r² de la ecuación (1) en la (3):

${{(x-L)}^{2}}+{{(y-L)}^{2}}=9({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$

$\frac{{{L}^{2}}}{4}={{x}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot x\cdot L+{{y}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot y\cdot L$

$\frac{{{L}^{2}}}{4}+\frac{{{L}^{2}}}{64}+\frac{{{L}^{2}}}{64}={{x}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot x\cdot L+\frac{{{L}^{2}}}{64}+{{y}^{2}}+\frac{1}{4}\cdot y\cdot L+\frac{{{L}^{2}}}{64}$

(5)    ${{(x+\frac{L}{8})}^{2}}+{{(y+\frac{L}{8})}^{2}}={{(\frac{3}{4\cdot \sqrt{2}}\cdot L)}^{2}}$

Las ecuaciones (4) y (5) representan 2 círculos de radio  $\frac{2}{3}\cdot L$ y  $\frac{3}{4\cdot \sqrt{2}}\cdot L$, cuyos centros son:

c1 (0, -L/3) y c2 (-L/8, -L/8), respectivamente.

Si restamos la ecuación (5) de la (4), obtenemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección P y P’.

*Observación: Aunque el punto P’ “cumple” con las condiciones del problema, se encuentra fuera del cuadrado ABCD y la única solución elegible es P.

$\frac{-x\cdot L}{4}+\frac{5\cdot y\cdot L}{12}=\frac{{{L}^{2}}}{12}$

(6)     $y=\frac{3x+L}{5}$

Sustituyendo (6) en (4) y simplificando:

$17{{x}^{2}}+8\cdot x\cdot L-2\cdot {{L}^{2}}=0$

Resolviendo para x:

$x=\left( \frac{-4\pm 5\sqrt{2}}{17} \right)\cdot \text{L}$, por lo tanto   ${{X}_{p}}=\left( \frac{-4+5\sqrt{2}}{17} \right)\cdot \text{L}$    (Valor positivo)

Sustituyendo en (6):

${{Y}_{p}}=\left( \frac{1+3\sqrt{2}}{17} \right)\cdot \text{L}$

Sustituyendo ambos valores en la ecuación (1):

${{r}^{2}}=\left( \frac{5-2\sqrt{2}}{17} \right)\cdot {{\text{L}}^{2}}$

$r=\sqrt{\left( \frac{5-2\sqrt{2}}{17} \right)}\cdot \text{L}$

Para determinar el valor del ángulo <APD utilizaremos la Ley de Cosenos:

${{r}^{2}}+{{(2r)}^{2}}-2\cdot \left( r \right)\cdot \left( 2r \right)\cdot \cos \alpha ={{L}^{2}}$

$\cos \alpha =\frac{5{{r}^{2}}-{{L}^{2}}}{4{{r}^{2}}}$

Al sustituir el valor de r, obtenemos:

$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}\therefore \alpha =\frac{3}{4}\cdot \pi =135{}^\circ$