Problema 01


Determina todos los números enteros positivos n para los cuales S n = x n + y n + z n
es constante, cualesquiera que sea x , y , z reales tales que x · y · z=1 y x+y+z=0 .
Por simple observación n=1 , es una solución.
Ahora, sabemos que z= 1 x ·y , por lo tanto
x+y+ 1 x ·y =0 , es decir, x 2 ·y+x · y 2 +1=0
Obteniendo las raíces de la ecuación:
y= -x 2 ± x 2 4 - 1 x
Dado que z=-x-y ,
z= -x 2 x 2 4 - 1 x
Quedando la ecuación principal:
S n (x)= x n + ( - x 2 + x 2 4 - 1 x ) n + ( - x 2 - x 2 4 - 1 x ) n
Revisando por separado el segundo y tercer sumandos:
( - x 2 + x 2 4 - 1 x ) n = ( - x 2 ) n + i=1 n-1 ( n i ) ( -1 ) n-i ( x 2 ) n-i ( x 2 4 - 1 x ) i  
+ ( x 2 4 - 1 x ) n
y
( - x 2 - x 2 4 - 1 x ) n  
( - x 2 ) n + i=1 n-1 ( n i ) ( -1 ) n-i ( x 2 ) n-i ( -1 ) i ( x 2 4 - 1 x ) i  
+ ( -1 ) n ( x 2 4 - 1 x ) n
= ( - x 2 ) n + i=1 n-1 ( n i ) ( -1 ) n ( x 2 ) n-i ( x 2 4 - 1 x ) i + ( -1 ) n ( x 2 4 - 1 x ) n
Se observa que para eliminar los términos ( x 2 4 - 1 x ) n , debe cumplirse que
1+ ( -1 ) n =0 , por lo tanto n debe ser impar.

Por lo que para n impar la ecuación queda:
S n (x)=( 1- 1 2 n-1 ) x n + i=1 n-1 ( n i )[ ( -1 ) n-i + ( -1 ) n ] ( x 2 ) n-i ( x 2 4 - 1 x ) i
De igual forma, para que S n (x) sea igua a una constante, los términos de la sumatoria no deben anularse.
Tomando en cuenta lo anterior, debe cumplirse que
( -1 ) n-i + ( -1 ) n 0 , por lo tanto es necesario que n-i sea impar, lo que solamente se consigue si i es par.
Siendo así, ( -1 ) n-i + ( -1 ) n =-2 ,
Además tenemos que:
( x 2 ) n-i ( x 2 4 - 1 x ) i = ( 1 2 ) n-i ( x 2( n-i ) i ( x 2 4 - 1 x ) ) i/2  
( 1 2 ) n-i ( x ( 2( n-i ) i +2 ) 4 - x ( 2( n-i ) i -1 ) ) i/2
= ( 1 2 ) n-i ( x ( 2n i ) 4 - x ( 2n i -3 ) ) i/2
Sustituyendo:
S n (x)=( 1- 1 2 n-1 ) x n -2 i=2 n-1 ( n i ) ( 1 2 ) n-i ( x ( 2n i ) 4 - x ( 2n i -3 ) ) i/2
Para que existan valores independientes de x es necesario que n=0 (que sabemos no es válido) ó que 2·n i -3=0 , de donde obtenemos que i= 2 3 ·n
Nuevamente, sustituyendo:
S n (x)=( 1- 1 2 n-1 ) x n -2( n 2 3 · n ) ( 1 2 ) n/3 ( x 3 4 -1 ) n/3
Es fácil ver que el desarrollo de ( x 3 4 -1 ) n/3 cuando n>3 , siendo impar y múltiplo de 3, generará coeficientes no nulos para x n-3 , x n-6 , etc.
Por lo tanto n=3 .
Resumiendo, los únicos valores de n que generan Sn = constante son 1 y 3.

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